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Des Unvergleichlichen Archimedis Kunst-Bücher Oder Heutigs Tags befindliche SchrifftenAbbildungenDeskriptionAnmerkungKreismessungVerweise

Mit den verteutschten Kunst-Wörtern

Archimedes — Johann Christoph Sturm:

Des | Unvergleichlichen | ARCHIMEDIS | Kunſt-Bücher | Oder | Heutigs Tags befindliche | Schrifften/ | Aus dem Griechiſchen in das Hoch-|Teutſche überſetzt/ und mit nothwendigen | Anmerkungen durch und durch | erläutert | Von | Johanne Christophoro Sturmio | Phil. M. Mathem. und Phyſ. P.P. zu Altdorf.

Nürnberg: Christoph Gerhard für Paul Fürst, 1670.

Folio. 317 × 202 mm. [20], [4], 427, [1] Seiten. - Lagensignaturen: )(4, )()(6, A-L4, M6, N-Z4, Aa-Zz4, Aaa6, Bbb-Ggg4. Mit einem gestochenen Titel von Peter Paul Troschel (Nürnberg, 1615 – 1680, cf. Thieme/Becker XXXIII,431 sq.) und hunderten von geometrischen Textholzschnitten.

Halbpergamenteinband der Zeit auf vier durchgezogenen Pergamentbünden, Deckel mit Kiebitzpapier bezogen, handgestochene grüne Kapitale, Rotschnitt.

Erste deutsche Ausgabe der Schriften Archimedis; sieben Jahre später erschien noch eine Übertragung des Sandrechners vom selben Übersetzer, die jedoch nur 32 Seiten umfaßt.
 Sturm (1635-1703), mit den berühmten Straßburger Sturms verwandt, war erst Dozent zu Jena, wo er Theologie und Mathematik studiert hatte, wurde dann Prediger und ab 1669 Professor der Mathematik und Physik an der Universität zu Altdorf. Cf. Jöcher IV,912-913.
 Im Vorbericht wird ein alphabetisches Verzeichnis der in diesem Werk verkommenden „verteutschten Kunst-Wörter“ mit ihren griechischen bzw. lateinischen Entsprechungen gegeben. Das Werk ist von großer Bedeutung für die Ausbildung einer mathematischen Terminologie in deutscher Sprache.

Riccardi I,45,16 - Poggendorff II,1043 - Hoffmann I,231 - Schweiger I,43 - Graesse I,181 - Paisey A785 - Ebert 926 - Georgi I,56 – Bibliographien.


 

Archimedes:
Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina. Im Anhang: Kreismessung. Übersetzt von F. Rudio. Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen. Übersetzt von J. L. Heiberg und kommentiert von H. G. Zeuthen.
Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1972.

Ein Nachdruck von Übersetzungen der 20er Jahre.

 

Αϱχιμήδους ϰύϰλου μέτϱησις — Kreismessung

Πᾶς ϰύϰλος ἴσος ἐστὶ τϱιγώνῳ ὀϱϑογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐϰ τοῦ ϰέντϱου ἴση μιᾷ τῶν πεϱὶ τὴν ὀϱϑήν, ἡ δὲ πεϱίμετϱος τῇ βάσει.

Ἐχέτω ὁ ΑΒΓΔ ϰύϰλος τϱιγώνῳ τῷ Ε, ὡς ὑπόϰειται· λέγω ὅτι ἴσος ἐστίν.

Εἰ γὰϱ δυνατόν, ἔστω μείζων ὁ ϰύϰλος, ϰαὶ ἐγγεγϱάφϑω τὸ ΑΓ τετϱάγωνον, ϰαὶ τετμήσϑωσαν αἱ πεϱιφέϱειαι δίχα, ϰαὶ ἔστω τὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσονα τῆς ὑπεϱοχῆς, ᾗ ὑπεϱέχει ὁ ϰύϰλος τοῦ τϱιγώνου· τὸ εὐϑύγϱαμμον ἄϱα ἔτι τοῦ τϱιγώνου ἐστὶ μεῖζον. Εἰλήφϑω ϰέντϱον τὸ Ν ϰαὶ ϰάϑετος ἡ ΝΞ· ἐλάσσων ἄϱα ἡ ΝΞ τῆς τοῦ τϱιγώνου πλευϱᾶς. Ἔστιν δὲ ϰαὶ ἡ πεϱίμετϱος τοῦ εὐϑυγϱάμμου τῆς [139] λοιπῆς ἐλάττων, ἐπεὶ ϰαὶ τῆς τοῦ ϰύϰλου πεϱιμέτϱου· ἔλαττον ἄϱα τὸ εὐϑύγϱαμμον τοῦ Ε τϱιγώνου· ὅπεϱ ἄτοπον.

Ἔστω δὲ ὁ ϰύϰλος, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων τοῦ Ε τϱιγώνου, ϰαὶ πεϱιγεγϱάφϑω τὸ τετϱάγωνον, ϰαὶ τετμήσϑωσαν αἱ πεϱιφέϱειαι δίχα, ϰαὶ ἤχϑωσαν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν σημείων· ὀϱϑὴ ἄϱα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄϱα τῆς ΜΡ ἐστὶν μείζων· ἡ γὰϱ ΡΜ τῇ ΡΑ ἴση ἐστί· ϰαὶ τὸ ΡΟΠ τϱίγωνον ἄϱα τοῦ ΟΖΑΜ σχήματος μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ. Λελείφϑωσαν οἱ τῷ ΠΖΑ τομεῖ ὅμοιοι ἐλάσσους τῆς ὑπεϱοχῆς, ᾗ ὑπεϱέχει τὸ Ε τοῦ ΑΒΓΔ ϰύϰλου· ἔτι ἄϱα τὸ πεϱιγεγϱαμμένον εὐϑύγϱαμμον τοῦ Ε ἐστὶν ἔλασσον· ὅπεϱ ἄτοπον· ἔστιν γὰϱ μεῖζον, ὅτι ἡ μὲν ΝΑ ἴση ἐστὶ τῇ ϰαϑέτῳ τοῦ τϱιγώνου, ἡ δὲ πεϱίμετϱος μείζων ἐστὶ τῆς βάσεως τοῦ τϱιγώνου. Ἴσος ἄϱα ὁ ϰύϰλος τῷ Ε τϱιγώνῳ.

β΄.

Ὁ ϰύϰλος πϱὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτϱου τετϱάγωνον λόγον ἔχει, ὃν ια πϱὸς ιδ.

Ἔστω ϰύϰλος, οὗ διάμετϱος ἡ ΑΒ, ϰαὶ πεϱιγεγϱάφϑω τετϱάγωνον τὸ ΓΗ, ϰαὶ τῆς ΓΔ διπλῆ ἡ ΔΕ, ἕβδομον δὲ ἡ ΕΖ τῆς ΓΔ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓΕ πϱὸς τὸ ΑΓΔ λόγον ἔχει, ὃν ϰα πϱὸς ζ, πϱὸς δὲ τὸ ΑΕΖ τὸ ΑΓΔ λόγον ἔχει, ὃν ἑπτὰ [140] πϱὸς ἕν, τὸ ΑΓΖ πϱὸς τὸ ΑΓΔ ἐστίν, ὡς ϰβ πϱὸς ζ. Ἀλλὰ τοῦ ΑΓΔ τετϱαπλάσιόν ἐστι τὸ ΓΗ τετϱάγωνον, τὸ δὲ ΑΓΔΖ τϱίγωνον τῷ ΑΒ ϰύϰλῳ ἴσον ἐστίν [ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΓ ϰάϑετος ἴση ἐστὶ τῇ ἐϰ τοῦ ϰέντϱου, ἡ δὲ βάσις τῆς διαμέτϱου τϱιπλασίων ϰαὶ τῷ ζ΄ ἔγγιστα ὑπεϱέχουσα δειχϑήσεται]· ὁ ϰύϰλος οὖν πϱὸς τὸ ΓΗ τετϱάγωνον λόγον ἔχει, ὃν ια πϱὸς ιδ.

γ΄.

Παντὸς ϰύϰλου ἡ πεϱίμετϱος τῆς διαμέτϱου τϱιπλασίων ἐστὶ ϰαὶ ἔτι ὑπεϱέχει ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέϱει τῆς διαμέτϱου, μείζονι δὲ ἢ δέϰα ἑβδομηϰοστομόνοις.

Ἔστω ϰύϰλος ϰαὶ διάμετϱος ἡ ΑΓ ϰαὶ ϰέντϱον τὸ Ε ϰαὶ ἡ ΓΛΖ ἐφαπτομένη ϰαὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τϱίτου ὀϱϑῆς· ἡ ΕΖ ἄϱα πϱὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τϚ πϱὸς ϱνγ, ἡ δὲ ΕΓ πϱὸς [τὴν] ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε πϱὸς ϱνγ. Τετμήσϑω οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ· ἔστιν ἄϱα, ὡς ἡ ΖΕ πϱὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ [141] πϱὸς ΗΓ [ϰαὶ ἐναλλὰξ ϰαὶ συνϑέντι]. Ὡς ἄϱα συναμφότεϱος ἡ ΖΕ, ΕΓ πϱὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πϱὸς ΓΗ· ὥστε ἡ ΓΕ πϱὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπεϱ φοα πϱὸς ϱνγ. Ἡ ΕΗ ἄϱα πϱὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μ λδ Ϛϑυν πϱὸς Μ β Ϛγυϑ· μήϰει ἄϱα, ὃν φϞα η΄ πϱὸς ϱνγ. Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΕΘ· διὰ τὰ αὐτὰ ἄϱα ἡ ΕΓ πϱὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν Ϛαϱξβ η΄ πϱὸς ϱνγ· ἡ ΘΕ ἄϱα πϱὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν Ϛαϱοβ η΄ πϱὸς ϱνγ. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ· ἡ ΕΓ ἄϱα πϱὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν Ϛβτλδ δ᾿ πϱὸς ϱνγ· ἡ ΕΚ ἄϱα πϱὸς ΓΚ μείζονα ἢ ὃν Ϛβτλϑ δ᾿ πϱὸς ϱνγ. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΛΕ· ἡ ΕΓ ἄϱα πϱὸς ΛΓ μείζονα [μήϰει] λόγον ἔχει ἤπεϱ τὰ Ϛδχογ Ϛ΄ πϱὸς ϱνγ. Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τϱίτου οὖσα ὀϱϑῆς τέτμηται τετϱάϰις δίχα, ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ὀϱϑῆς ἐστι μη΄. Κείσϑω οὖν αὐτῇ ἴση πϱὸς τῷ Ε ἡ ὑπὸ ΓΕΜ· ἡ ἄϱα ὑπὸ ΛΕΜ ὀϱϑῆς ἐστι ϰδ΄. Καὶ ἡ ΛΜ ἄϱα εὐϑεῖα τοῦ πεϱὶ τὸν ϰύϰλον ἐστὶ πολυγώνου πλευϱὰ πλευϱὰς ἔχοντος ϞϚ. Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πϱὸς τὴν [142] ΓΛ ἐδείχϑη μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπεϱ Ϛδχογ Ϛ΄ πϱὸς ϱνγ, ἀλλὰ τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΓΛ διπλασίων ἡ ΛΜ, ϰαὶ ἡ ΑΓ ἄϱα πϱὸς τὴν τοῦ ϞϚ γώνου πεϱίμετϱον μείζονα λόγον ἔχει ἤπεϱ Ϛδχογ Ϛ΄ πϱὸς Μ α Ϛδχπη. Καί ἐστιν τϱιπλασία, ϰαὶ ὑπεϱέχουσιν χξζ Ϛ΄, ἅπεϱ τῶν Ϛδχογ Ϛ΄ ἐλάττονά ἐστιν ἢ τὸ ἕβδομον· ὥστε τὸ πολύγωνον τὸ πεϱὶ τὸν ϰύϰλον τῆς διαμέτϱου ἐστὶ τϱιπλάσιον ϰαὶ ἐλάττονι ἢ τῷ ἑβδόμῳ μέϱει μεῖζον· ἡ τοῦ ϰύϰλου ἄϱα πεϱίμετϱος πολὺ μᾶλλον ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τϱιπλασίων ϰαὶ ἑβδόμῳ μέϱει μείζων.

Ἔστω ϰύϰλος ϰαὶ διάμετϱος ἡ ΑΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τϱίτου ὀϱϑῆς· ἡ ΑΒ ἄϱα πϱὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν Ϛατνα πϱὸς ψπ [ἡ δὲ ΑΓ πϱὸς ΓΒ, ὃν Ϛαφξ πϱὸς ψπ]. Δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ, ἀλλὰ ϰαὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, ϰαὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση. Καὶ ϰοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀϱϑή· ϰαὶ τϱίτη ἄϱα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ τϱίτῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἴση. Ἰσογώνιον ἄϱα τὸ ΑΗΓ τῷ ΓΗΖ τϱιγώνῳ· ἔστιν ἄϱα, ὡς ἡ ΑΗ πϱὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πϱὸς ΗΖ ϰαὶ ἡ ΑΓ πϱὸς ΓΖ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΓ πϱὸς ΓΖ, [ϰαὶ] συναμφότεϱος ἡ ΓΑΒ πϱὸς ΒΓ· ϰαὶ ὡς συναμφότεϱος ἄϱα ἡ ΒΑΓ πϱὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πϱὸς ΗΓ. Διὰ [143] τοῦτο οὖν ἡ ΑΗ πϱὸς [τὴν] ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπεϱ βϠια πϱὸς ψπ, ἡ δὲ ΑΓ πϱὸς τὴν ΓΗ ἐλάσσονα ἢ ὃν Ϛγιγ Ϛ΄ δ΄ πϱὸς ψπ. Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ· ἡ ΑΘ ἄϱα διὰ τὰ αὐτὰ πϱὸς τὴν ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν ϚεϠϰδ Ϛ΄ δ΄ πϱὸς ψπ ἢ ὃν Ϛαωϰγ πϱὸς σμ· ἑϰατέϱα γὰϱ ἑϰατέϱας δ ιγ΄· ὥστε ἡ ΑΓ πϱὸς τὴν ΓΘ ἢ ὃν Ϛαωλη ϑ ια΄ πϱὸς σμ. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ΚΑ· ϰαὶ ἡ ΑΚ πϱὸς τὴν ΚΓ ἐλάσσονα [ἄϱα] λόγον ἔχει ἢ ὃν Ϛαζ πϱὸς ξϚ· ἑϰατέϱα γὰϱ ἑϰατέϱας ια μ΄. Ἡ ΑΓ ἄϱα πϱὸς [τὴν] ΚΓ ἢ ὃν Ϛαϑ Ϛ΄ πϱὸς ξϚ. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ τῇ ΛΑ· ἡ ΑΛ ἄϱα πϱὸς [τὴν] ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ βιϚ Ϛ΄ πϱὸς ξϚ, ἡ δὲ ΑΓ πϱὸς ΓΛ ἐλάσσονα ἢ τὰ Ϛβιζ δ΄ πϱὸς ξϚ. Ἀνάπαλιν ἄϱα ἡ πεϱίμετϱος τοῦ πολυγώνου πϱὸς τὴν διάμετϱον μείζονα λόγον ἔχει ἤπεϱ ϚϚτλϚ πϱὸς Ϛβιζ δ΄, ἅπεϱ τῶν Ϛβιζ δ΄ μείζονά ἐστιν ἢ τϱιπλασίονα ϰαὶ δέϰα οα΄· ϰαὶ ἡ πεϱίμετϱος ἄϱα τοῦ ϞϚγώνου τοῦ ἐν τῷ ϰύϰλῳ τῆς διαμέτϱου τϱιπλασίων ἐστὶ ϰαὶ μείζων ἢ ι οα΄· ὥστε ϰαὶ ὁ ϰύϰλος ἔτι μᾶλλον τϱιπλασίων ἐστὶ ϰαὶ μείζων ἢ ι οα΄.

Ἡ ἄϱα τοῦ ϰύϰλου πεϱίμετϱος τῆς διαμέτϱου τϱιπλασίων ἐστὶ ϰαὶ ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέϱει, μείζονι δὲ ἢ ι οα΄ μείζων.

 
 
 
 
 

Jeder Kreis ist einem rechtwinkligen Dreiecke inhaltsgleich, insofern der Radius gleich der einen der den rechten Winkel einschließenden Seiten, der Umfang aber gleich der Basis ist.

Der Kreis ABCD möge sich zu dem Dreiecke E verhalten, wie vorausgesetzt worden ist. Ich behaupte, daß er diesem gleich sei.

Sofern es nämlich möglich ist, sei der Kreis größer. Dann schreibe man dem Kreise das Quadrat AC ein und halbiere die Bogen solange, bis die Summe der Segmente kleiner ist als der Überschuß des Kreises über das Dreieck. Die gradlinige Figur ist dann folglich größer als das Dreieck. Man nehme den Mittelpunkt N und das Lot NX, so ist NX kleiner als die eine Seite des Dreiecks. Zugleich ist aber auch der Umfang der gradlinigen Figur kleiner als die andere Seite desselben, weil er ja kleiner ist als der Umfang des Kreises. Folglich wäre die gradlinige Figur kleiner als das Dreieck, was doch widersinnig ist.

Es sei jetzt, sofern dies möglich ist, der Kreis kleiner als das Dreieck E. Dann beschreibe man um denselben ein Quadrat, halbiere die Bogen und ziehe in den Teilungspunkten die Tangenten. Der Winkel OAR ist alsdann ein Rechter und folglich ist OR größer als MR, da MR gleich RA ist. Demnach ist das Dreieck ROP größer als die Hälfte der Figur OZAM. Es seien nun zuletzt Abschnitte, so wie PZA, übrig gelassen, welche zusammen kleiner sind als der Überschuß des Dreiecks E über den Kreis ABCD. Die umgeschriebene gradlinige Figur ist dann folglich kleiner als das Dreieck E, was doch widersinnig ist. Denn sie ist größer, weil einerseits NA gleich der Höhe des Dreiecks, anderergeits aber der Umfang größer als die Grundlinie des Dreiecks ist.

Folglich ist der Kreis gleich dem Dreiecke E.

II.

Der Kreis hat zum Quadrate seines Durchmessers (nahezu) ein Verhältnis wie 11 zu 14.

Es sei ein Kreis gegeben mit dem Durchmesser AB und es werde das Quadrat CE umgeschrieben; es sei ferner DG doppelt so groß wie CD und GZ ein Siebentel von CD.

Da sich nun ACG zu ACD verhält wie 21 zu 7, dagegen ACD zu AGZ wie 7 zu 1, so verhält sich ACZ zu ACD wie 22 zu 7. Es ist aber das Quadrat CE das Vierfache von ACD und das Dreieck ACDZ gleich dem Kreise AB [da nämlich die Höhe AC gleich dem Halbmesser und die Basis gleich dem Dreifachen des Durchmessers, vermehrt um ein Siebentel desselben, d. h. nahezu gleich der Peripherie ist, wie bewiesen werden wird]. Also hat der Kreis zu dem Quadrate CE (nahezu) ein Verhältnis wie 11 zu 14.

III.

Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß als der Durchmesser und noch um etwas größer, nämlich um weniger als ein Siebentel, aber um mehr als zehn Einundsiebenzigstel des Durchmessers.

1. Es sei ein Kreis gegeben mit dem Durchmesser AC, dem Mittelpunkte E und der Berührungslinie CLB und es sei der Winkel BEC der dritte Teil eines Rechten. Dann verhält sich EB zu BC wie 306 zu 153, dagegen EC zu CB (nahezu) wie 265 zu 153.

Nun möge der Winkel BEC durch ED in zwei gleiche Teile geteilt werden. Alsdann verhält sich BE zu EC wie BD zu DC. Durch Zusammensetzung und nachherige Vertauschung folgt daher, daß BE und EC zusammengenommen sich zu BC verhalten wie EC zu CD. Demnach hat CE zu CD ein größeres Verhältnis als 571 zu 153. Folglich verhalten sich die Quadrate von ED und DC (nahezu) wie 349450 zu 23409 und daher ihre Längen (nahezu) wie 591⅛, zu 153.

Man teile von neuem den Winkel DEC durch EH in zwei gleiche Teile, dann ergiebt sich auf ganz die gleiche Weise, daß EC zu CH ein größeres Verhältnis hat als 1162⅛ zu 153 und daher HE zu HC in einem größeren Verhältnis steht als 1172⅛ zu 153.

Man teile ferner den Winkel HEC durch EK in zwei gleiche Teile. Dann hat EC zu CK ein größeres Verhältnis als 2334¼ zu 153 und folglich EK zu CK ein größeres als 2339¼ zu 153.

Man teile noch den Winkel KEC durch LE in zwei gleiche Teile. Dann hat EC zu LC ein größeres Verhältnis als 4673½ zu 153.

Da nun der Winkel BEC, welcher der dritte Teil eines Rechten ist, viermal in gleiche Teile geteilt worden ist, so ist der Winkel LEC der achtundvierzigste Teil eines Rechten. Man lege daher bei E den ihm gleichen Winkel CEM an. Dann ist der Winkel LEM der vierundzwanzigste Teil eines Rechten und folglich die Linie LM die Seite des dem Kreise umgeschriebenen Polygones von 96 Seiten. Da nun bewiesen worden ist, daß EC zu CL ein größeres Verhältnis hat als 4673½ zu 153, und da AC das Doppelte von EC und LM das Doppelte von CL ist, so hat auch AC zu dem Umfange des Sechsundneunzigecks ein größeres Verhältnis als 4673½ zu 14688. Die letztere Zahl ist das Dreifache der ersteren vermehrt um 667½ also um weniger als den siebenten Teil von 4673½. Folglich ist der Umfang des dem Kreise umgeschriebenen Polygones gleich dem Dreifachen des Durchmessers vermehrt um weniger als ein Siebentel desselben. Um so viel mehr ist also der Umfang des Kreises kleiner als das Dreifache des Durchmessers, vermehrt um ein Siebentel desselben.

2. Es sei ein Kreis gegeben mit dem Durchmesser AC und es sei der Winkel BAC der dritte Teil eines Rechten. Dann hat AB zu BC ein kleineres Verhältnis als 1351 zu 780, dagegen AC zu CB ein solches gleich 1560 zu 780.

Man teile den Winkel BAC durch AD in zwei gleiche Teile. Da der Winkel BAD gleich dem Winkel DCB, aber auch gleich dem Winkel DAC ist, so ist auch der Winkel DCB gleich dem Winkel DAC. Ferner ist gemeinschaftlich der rechte Winkel ADC. Daher ist auch der dritte Winkel DFC dem dritten Winkel ACD gleich. Folglich ist das Dreieck ADC dem Dreiecke CDF winkelgleich. Es verhält sich demnach AD zu DC wie CD zu DF und wie AC zu CF. Aber wie sich AC zu CF verhält, so verhalten sich auch CA und AB zusammengenommen zu BC. Und wie sich folglich CA und AB zusammengenommen zu BC verhalten, so verhält sich AD zu DC. Infolge dessen hat also AD zu DC ein kleineres Verhältnis als 2911 zu 780 und AC zu CD ein kleineres als 3013¾ zu 780.

Man teile den Winkel CAD durch AH in zwei gleiche Teile. Dann hat aus genau demselben Grunde AH zu HC ein kleineres Verhältnis als 5924¾ zu 780 oder als 1823 zu 240, denn diese beiden sind 4/13 der andern. Daher verhält sich AC zu CH (nahezu) wie 18389/11 zu 240.

Man teile ferner den Winkel HAC durch KA in zwei gleiche Teile. Dann hat AK zu KC ein kleineres Verhältnis als (36619/11 zu 240 oder als) 1007 zu 66, denn diese beiden sind 11/40 der anderen. Folglich verhält sich AC zu CK (nahezu) wie 1009⅑ zu 66.

Man teile noch den Winkel KAC durch LA in zwei gleiche Teile. Dann hat AL zu LC ein kleineres Verhältnis als 2016⅙ zu 66 und AC zu CL ein kleineres als 2017¼ zu 66.

Umgekehrt hat daher der Umfang des Polygons zu dem Durchmesser ein größeres Verhältnis als 6336 zu 2017¼, was mehr als drei und zehn Einundsiebenzigstel von 2017¼ ist. Daher übertrifft der Umfang des dem Kreise eingeschriebenen Polygones von 96 Seiten das Dreifache des Durchmessers um mehr als 10/71 desselben. Folglich übertrifft um so mehr der Kreis das Dreifache des Durchmessers um mehr als 10/71 desselben.

Der Umfang des Kreises ist demnach dreimal so groß als der Durchmesser und noch um etwas größer, nämlich um weniger als ⅐, aber um mehr als 10/71 desselben.
— Übersetzt von Ferdinand Rudio: Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Leipzig: Teubner, 1892. pp. 71-81.


 

Mehr über Archimedes bei der Aldus-Ausgabe

Archimedis opera non nulla à Federico Commandino in Latinum conversa